【步步高】高三数学大一轮复* 9.4直线、圆的位置关系课件

发布于:2021-09-25 16:58:39

§9.4 要点梳理 直线、圆的位置关系 基础知识 自主学* 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:相离 、 相切 、相交 . 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方 法: ?>0?相交 ? 判别式 ?=0?相切 (1)代数法: 2 Δ =b -4ac ? ?<0?相离 (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的 大小关系:d<r?相交,d=r?相切,d>r?相离. 2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、 弦长的一半及半 径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 |AB| = 1+k2 |xA - xB| = ?1+k2?[?xA+xB?2-4xAxB]. 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 3.求过点 P(x0,y0)的圆 x2+y2=r2 的切线方程 (1)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上, 则 以 P 为 切 点 的 圆 的 切 线 方 程 为: x x ? y y ? r . 2 0 0 (2)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则过 P 的 切线方程可设为:y- y0= k(x -x0),利用待 定系数法求解. 说明:k 为切线斜率,同时应考虑斜率不存 在的情况. 4.圆与圆的位置关系的判定 设⊙C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), ⊙C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0),则有: |C1C2|>r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相离 ; |C1C2|=r1+r2?⊙C1 与⊙C2 外切 ; |r1-r2|<|C1C2|<r1+r2?⊙C1 与⊙C2 相交 ; |C1C2|=|r1-r2|(r1≠r2)?⊙C1 与⊙C2 内切 ; |C1C2|<|r1-r2|?⊙C1 与⊙C2 内含 . [难点正本 疑点清源] 1.直线和圆的位置关系有且仅有三种:相离、 相切、相交. 判定方法有两个: (1)几何法:比较圆心到直线的距离与圆的 半径间的大小; (2)代数法:看直线与圆的方程联立所得方 程组的解的个数. 2.解决直线与圆的位置关系的有关问题,要充分 利用*面几何中圆的性质使问题简化. 一般要求圆心到直线的距离与半径. 3.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心 到直线的距离等于半径,求切线长一般要用切 线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角 形; 当与圆相交时, 弦长的计算也要用弦心距、 半径及弦长的一半构成的直角三角形. 4.对于圆的切线问题,要注意切线斜率不存在的 情况. 基础自测 1. (2010·四川)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2 2 3 =8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 5 圆心到直线的距离 d= = 5,半径 5 解析 R=2 2, 所以弦长|AB|=2 R2-d2=2 8-5=2 3. 2.若直线 3x+4y+m=0 与圆 x2+y2-2x+4y +4=0 没有公共点,则实数 m 的取值范围 是 (-∞,0)∪(10,+∞) . 解析 将圆 x2+y2-2x+4y+4=0 化为标准 方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心坐标为 (1, -2),半径为 1.若直线与圆无公共点, 即圆心到直线的距离大于半径, |3×1+4×?-2?+m| |m-5| 即 d= = 5 >1, 2 2 3 +4 ∴m<0 或 m>10. 3.已知圆 x2+y2=9 的弦 PQ 的中点为 M(1,2), 则弦 PQ 的长为________ . 4 解析 于 3, 圆心到 M(1,2)的距离等于 5,半径等 则弦长等于 2 32-? 5?2=4. 4. 圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 ( D ) A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 解析 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标 为(2,0),半径为 2,点 P 在圆上,设切线方程 为 y- 3=k(x-1), |2k-k+ 3| 即 kx-y-k+ 3=0,∴ =2, 2 k +1 3 解得 k= 3 . 3 ∴切线方程为 y- 3= 3 (x-1), 即 x- 3y+2=0. 5.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2 -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有( B ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析 ⊙C1:(x+1)2+(y+1)2=4, 圆心 C1(-1,-1),半径 r1=2. ⊙C2:(x-2)2+(y-1)2=4,圆心 C2(2,1), 半径 r2=2. ∴|C1C2|= 13, ∴|r1-r2|=0<|C1C2|<r1+ r2=4, ∴两圆相交,有两条公切线. 点评 由圆的位置关系,确定两圆的公切线. 题型分类 题型一 例1 深度剖析 直线与圆的位置关系 m 为何值时,直线 2x-y+m=0 与圆 x2 +y2=5. (1)无公共点; (2)截得的弦长为 2; (3)交点处两条半径互相垂直. 思维启迪:(1)无公共点即相离,用点到直 线的距离 d>r 判断; (2)充分利用直角三角形; (3)两半径互相垂直,形成等腰直角三角形. 解 (1)由已知,圆心为 O(0,0),半径 r= 5, 圆 心 到 直 线 2x - y + m = 0 的 距 离 d = |m| |m| = , 2 2 5 2 +?-1? |m| ∵直线与圆无公共点,∴d>r,即 > 5, 5 ∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时,直线与圆无公共点. (2) 如图,由*面几何垂径定理知 r2-d2=12. m2 即 5- =1. 5 得 m=± 2 5, ∴当 m=± 2 5时,直线被圆截得的弦长为 2. (3) 如图,由

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