(完整word版)2018年江苏省常州市中考数学试题含答案解析(Word版)

发布于:2021-09-25 18:23:03

2018 年江苏省常州市中考数学试题(WORD 版)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.)

1. ? 3 的倒数是( A. ? 3

)
B. 3

C. ? 1 3

2. 已知苹集每千克 m 元,则 2 千克带果共多少元?( )

A. m ? 2

B. m ? 2

m
C.
2

3. 下列图形中,哪一个是圆锥的侧面展开图?( )

1
D.
3 D. 2m

A.

B.

C.

D.

4. 一个正比例函数的图像经过 ( 2 , ?1 ) ,则它的表达式为( )

A. y ? ?2x

B. y ? 2x

5. 下列命题中,假.命.题.是 (

)

A.一组对边相等的四边形是*行四边形

C.四边相等的四边形是菱形

C. y ? ? 1 x 2

D. y ? 1 x 2

B. 三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的菱形是正方形

6. 已知 a 为整数,且 3 ? a ? 5 ,则 a 等于( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

7. 如图,AB 是⊙O 的直径,,MN 是⊙O 的切线,切点为 N,

如果 ?MNB ? 520 ,则 ?NOA 的度数为 ( )

A. 760

B. 560 C. 540

D. 520

8. 某数学研究性学*小组制作了如下的三角函数计算图

尺,在半径为 1 的半圆形量角器中,画一个直径为 1

的圆,把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆的圆心 O 处,

刻度尺可以绕点 O 旋转. 从图中所示的图尺可读出

sin?AOB的值是 5
A.
8 7
C.
10

()

7
B.
8 4
D.
5

(第 7 题) (第 8 题)

1

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.)
9. 计算:| ?3 | ?1 ? 10. 化简: a ? b ?
a?b a?b 11. 分解因式: 3x2 ? 6x ? 3 ?

12. 已知点 P(?2 , 1) ,则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是

13. 地球与月球的*均距离大约 384000km,用科学计数法表示这个距离为

km

14. 中华文化源远流长,下图是中国古代文化符号的太极图,圆中的黑色部分和白色部分关

于圆心中心对称.在圆内随机取一点,则此点取黑色部分的概率是

(第 14 题)

(第 15 题)

(第 16 题)

(第 18 题)

15. 如图,在□ABCD 中, ?A ? 700 ,DC=DB,则 ?CDB ?

.

16.

如图,

?ABC是⊙O

的内接三角形,

?BAC

?

600



B?C

的长是

4? 3

,则⊙O 的半径是

.

17. 下面是按一定规律排列的代数式: a 2 , a 2 , a 2 , a 2 ,…则第 8 个代数式是

.

18. 如图,在 ?ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P 是 AC 上一点,过点 P 沿直线剪下一 个与△ABC 相似的小三角形纸板,如果有 4 种不同的剪法,那么 AP 长的取值范围



.

三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.)

19.(6 分)计算:| ?1| ? 4 ? (1? 2)0 ? 4 sin 300

20.(8 分)解方程组和不等式组:

?2x ? 3y ? 7

(1)? ?

x

? 3y

?

?1

?2x ? 6 ? 0

( 2)? ?

x

?

2

?

?x

2

21.(8 分)如图,把 ?ABC沿 BC 翻折得 ?DBC .
(1)连接 AD,则 BC 与 AD 的位置关系是 (2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形 ABCD 是*行四边形,写出添
加的条件,并说明理由.
(第 21 题)
22.(8 分)为了解某市初中学生课外阅读情况,调查小组对该市这学期初中学生阅读课外书 籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.

根据统计图提供的信息,解答下列问题:

(第 22 题)

(1)本次抽样调查的样本容量是 ;

(2)补全条形统计图;

(3)该市共有 12000 名初中生,估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数.

3

23.(8 分)将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子的形状、大小、 质地都相同,再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中.
(第 23 题) (1)搅均后从中摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率; (2)搅均后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求 2
次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
24.(8 分)如图,已知点 A 在反比例函数 y ? 4 (x ? 0) 的图像上,过点 A 作 AC ? x 轴, x
垂足是 C,AC=OC.一次函数 y ? kx? b 的图像经过点 A,与 y 轴的正半轴交于点 B.
(1)求点 A 的坐标;
(2)若四边形 ABOC 的面积是 3,求一次函数 y ? kx? b 的表达式.
(第 24 题)
4

25.(8 分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿 是*行的),如图,在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D,先用卷尺量得 AB=160m,CD=40m,
再用测角仪测得 ?CAB ? 300 ,?DBA ? 600 ,求该段运河的河宽(即 CH 的长).

(第 25 题)

26.(10 分)阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为 x ? a 的形式.求解二元一次方
程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一 次方程组。求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转 化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的 解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.
例 如 , 一 元 三 次 方 程 x3 ? x2 ? 2x ? 0 , 可 以 通 过 因 式 分 解 把 它 转 化 为

x(x2 ? x ? 2) ? 0 ,解方程 x ? 0 和 x2 ? x ? 2 ? 0,可得方程 x3 ? x2 ? 2x ? 0 的解.

(1)问题:方程 x3 ? x2 ? 2x ? 0 的解是 x1 ? 0 , x2 ?

, x3 ?



(2)拓展:用“转化”思想求方程 2x ? 3 ? x 的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m,宽 AB=3m,小华把一根长为 10m 的绳 子的一端固定在点 B,沿草坪边沿 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB 段拉直并固定在点 P, 然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在 点 C.求 AP 的长.

(第 26 题)
5

27.(本小题满分 10 分) (1)如图 1,已知 EK 垂直*分 BC,垂足为 D,AB 与 EK 相交于点 F,连接 CF.
求证: ?AFE ? ?CFD (2)如图 2,在 Rt?GMN 中, ?M ? 900 ,P 为 MN 的中点.
①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q,使得 ?GQM ? ?PQN (保留作图痕迹,不要
求写作法);
②在①的条件下,如果 ?G ? 600 ,那么 Q 是 GN 的中点吗?为什么?

图1

图2

(第 27 题)

6

28.(本小题满分 10 分)
如图,二次函数 y ? ? 1 x2 ? bx ? 2 的图像与 x 轴交于点 A 、B,与 y 轴交于点 C,点 A 的 3
坐标为 (?4,0) ,P 是抛物线上一点(点 P 与点 A、B、C 不重合).

(1) b ?

,点 B 的坐标是



(2)设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M,是否存在这样的点 P,使得 PM : MB ?1: 2 ?若存

在求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由;

(3)连接 AC、BC,判断 ?CAB 和 ?CBA的数量关系,并说明理由.

(第 28 题)

(备用图)

7

2018 年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 2 分,共 16 分.在每小题所给出的四个选 项中,只有一项是正确的) 1.(2.00 分)﹣3 的倒数是( ) A.﹣3 B.3 C.﹣ D. 【分析】根据倒数的定义可得﹣3 的倒数是﹣ . 【解答】解:﹣3 的倒数是﹣ . 故选:C. 【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们 就称这两个数互为倒数.
2.(2.00 分)已知苹果每千克 m 元,则 2 千克苹果共多少元?( ) A.m﹣2 B.m+2 C. D.2m 【分析】根据苹果每千克 m 元,可以用代数式表示出 2 千克苹果的价钱. 【解答】解:∵苹果每千克 m 元, ∴2 千克苹果 2m 元, 故选:D. 【点评】本题考查列代数式,解答本题的关键是明确题意,列出相应的代数式.
3.(2.00 分)下列图形中,哪一个是圆锥的侧面展开图?( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答.

【解答】解:圆锥的侧面展开图是光滑的曲面,没有棱,只是扇形.

故选:B. 【点评】此题考查了几何体的展开图,注意圆锥的侧面展开图是扇形.

8

4.(2.00 分)一个正比例函数的图象经过(2,﹣1),则它的表达式为( )

A.y=﹣2x B.y=2xC.

D.

【分析】设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0),再把点(2,﹣1)代入求出 k 的值即可. 【解答】解:设该正比例函数的解析式为 y=kx(k≠0), ∵正比例函数的图象经过点(2,﹣1), ∴2=﹣k,解得 k=﹣2, ∴这个正比例函数的表达式是 y=﹣2x. 故选:A. 【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式,熟知正比例函数图象 上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

5.(2.00 分)下列命题中,假命题是( ) A.一组对边相等的四边形是*行四边形 B.三个角是直角的四边形是矩形 C.四边相等的四边形是菱形 D.有一个角是直角的菱形是正方形 【分析】根据矩形、正方形、*行四边形、菱形的判定即可求出答案. 【解答】解:A、一组对边*行且相等的四边形是*行四边形,是假命题; B、三个角是直角的四边形是矩形,是真命题; C、四边相等的四边形是菱形,是真命题; D、有一个角是直角的菱形是正方形,是真命题; 故选:A. 【点评】本题考查菱形、矩形和*行四边形的判定与命题的真假区别,关键是根 据矩形、正方形、*行四边形、菱形的判定解答.

6.(2.00 分)已知 a 为整数,且 A.1 B.2 C.3 D.4

,则 a 等于( )
9

【分析】直接利用 , 接*的整数是 2,进而得出答案.

【解答】解:∵a 为整数,且



∴a=2. 故选:B. 【点评】此题主要考查了估算无理数大小,正确得出无理数接*的有理数是解题 关键.

7.(2.00 分)如图,AB 是⊙O 的直径,MN 是⊙O 的切线,切点为 N,如果∠ MNB=52°,则∠NOA 的度数为( )

A.76° B.56° C.54° D.52° 【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°,则可计算出∠ONB=38°,再利用等腰 三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°,然后根据圆周角定理得∠NOA 的度数. 【解答】解:∵MN 是⊙O 的切线, ∴ON⊥NM, ∴∠ONM=90°, ∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°, ∵ON=OB, ∴∠B=∠ONB=38°, ∴∠NOA=2∠B=76°. 故选:A. 【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆 周角定理.
8.(2.00 分)某数学研究性学*小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为 1 的半圆形量角器中,画一个直径为 1 的圆,把刻度尺 CA 的 0 刻度固定在半圆 的圆心 O 处,刻度尺可以绕点 O 旋转.从图中所示的图尺可读出 sin∠AOB 的值
10

是( )
A. B. C. D. 【 分 析 】 如 图 , 连接 AD . 只 要 证 明 ∠AOB= ∠ ADO , 可 得 sin ∠ AOB=sin ∠ ADO= = ; 【解答】解:如图,连接 AD.
∵OD 是直径, ∴∠OAD=90°, ∵∠AOB+∠AOD=90°,∠AOD+∠ADO=90°, ∴∠AOB=∠ADO, ∴sin∠AOB=sin∠ADO= = , 故选:D. 【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键 是学会用转化的思想思考问题,属于中考创新题目.
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请 把答案直接写在答题卡相应位置上) 9.(2.00 分)计算:|﹣3|﹣1= 2 . 【分析】原式利用绝对值的代数意义,以及减法法则计算即可求出值. 【解答】解:原式=3﹣1=2. 故答案为:2
11

【点评】此题考查了有理数的减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

10.(2.00 分)化简:

=1.

【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可. 【解答】解:原式= =1,

故答案为:1 【点评】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

11.(2.00 分)分解因式:3x2﹣6x+3= 3(x﹣1)2 . 【分析】先提取公因式 3,再对余下的多项式利用完全*方公式继续分解. 【解答】解:3x2﹣6x+3, =3(x2﹣2x+1), =3(x﹣1)2. 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式 首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到 不能分解为止.

12.(2.00 分)已知点 P(﹣2,1),则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 (﹣2, ﹣1) . 【分析】根据关于 x 轴对称的点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,可得答案. 【解答】解:点 P(﹣2,1),则点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是(﹣2,﹣1), 故答案为:(﹣2,﹣1). 【点评】本题考查了关于 x 轴对称的对称点,利用关于 x 轴对称的点的横坐标相 等,纵坐标互为相反数是解题关键.

13.(2.00 分)地球与月球的*均距离大约 384000km,用科学计数法表示这个距 离为 3.84×105 km. 【分析】科学记数法的一般形式为:a×10n,在本题中 a 应为 3.84,10 的指数 为 6﹣1=5.
12

【解答】解:384 000=3.84×105km. 故答案为 3.84×105. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的 形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.

14.(2.00 分)中华文化源远流长,如图是中国古代文化符号的太极图,圆中的

黑色部分和白色部分关于圆心中心对称.在圆内随机取一点,则此点取黑色部分

的概率是



【分析】根据中心对称图形的性质得到圆中的黑色部分和白色部分面积相等,根 据概率公式计算即可. 【解答】解:∵圆中的黑色部分和白色部分关于圆心中心对称, ∴圆中的黑色部分和白色部分面积相等, ∴在圆内随机取一点,则此点取黑色部分的概率是 , 故答案为: . 【点评】本题考查的是概率公式、中心对称图形,掌握概率公式是解题的关键.
15.(2.00 分)如图,在?ABCD 中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB= 40° .
【分析】根据等腰三角形的性质,*行四边形的性质以及三角形内角和定理即可 解决问题. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是*行四边形, ∴∠A=∠C=70°, ∵DC=DB,
13

∴∠C=∠DBC=70°, ∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°, 故答案为 40°. 【点评】本题考查*行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等 知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
16.(2.00 分)如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠BAC=60°, 的长是 , 则⊙O 的半径是 2 .

【分析】连接 OB、OC,利用弧长公式转化为方程求解即可; 【解答】解:连接 OB、OC.

∵∠BOC=2∠BAC=120°, 的长是 ,



=,

∴r=2, 故答案为 2. 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心,圆周角定理,弧长的计算等知识,解 题的关键是熟练掌握弧长公式,属于中考常考题型.

17.(2.00 分)下面是按一定规律排列的代数式:a2,3a4,5a6,7a8,…则第 8 个代数式是 15a16 . 【分析】直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案.

14

【解答】解:∵a2,3a4,5a6,7a8,… ∴单项式的次数是连续的偶数,系数是连续的奇数, ∴第 8 个代数式是:(2×8﹣1)a2×8=15a16. 故答案为:15a16. 【点评】此题主要考查了单项式,正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题 关键.
18.(2.00 分)如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P 是 AC 上一点, 过点 P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板,如果有 4 种不同的剪法, 那么 AP 长的取值范围是 3≤AP<4 .
【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到 AP 的长 的取值范围. 【解答】解:如图所示,过 P 作 PD∥AB 交 BC 于 D 或 PE∥BC 交 AB 于 E,则△ PCD∽△ACB 或△APE∽△ACB, 此时 0<AP<4;
如图所示,过 P 作∠APF=∠B 交 AB 于 F,则△APF∽△ABC, 此时 0<AP≤4;
如图所示,过 P 作∠CPG=∠CBA 交 BC 于 G,则△CPG∽△CBA, 此时,△CPG∽△CBA, 当点 G 与点 B 重合时,CB2=CP×CA,即 22=CP×4,
15

∴CP=1,AP=3, ∴此时,3≤AP<4;

综上所述,AP 长的取值范围是 3≤AP<4. 故答案为:3≤AP<4. 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质,相似三角形的对应角相等,对应边 的比相等.

三、解答题(本大题共 10 小题,共 84 分.请在答题卡指定区域内作答,如无特 殊说明,解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.(6.00 分)计算:|﹣1|﹣ ﹣(1﹣ )0+4sin30°. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别 化简得出答案. 【解答】解:原式=1﹣2﹣1+4×
=1﹣2﹣1+2 =0. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.

20.(8.00 分)解方程组和不等式组: (1)

(2)

【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可; (2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.

【解答】解:(1)



①+②得:x=2, 把 x=2 代入②得:y=﹣1,

16

所以方程组的解为:



(2)



解不等式①得:x≥3; 解不等式②得:x≥﹣1, 所以不等式组的解集为:x≥3. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

21.(8.00 分)如图,把△ABC 沿 BC 翻折得△DBC. (1)连接 AD,则 BC 与 AD 的位置关系是 BC⊥AB . (2)不在原图中添加字母和线段,只加一个条件使四边形 ABDC 是*行四边形, 写出添加的条件,并说明理由.

【分析】(1)先由折叠知,AB=BD,∠ACB=∠DBC,进而判断出△AOB≌△DOB, 最后用*角的定义即可得出结论; (2)由折叠得出∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB,再判断出∠ABC=∠ACB,进而得 出∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB,最后用两边分别*行的四边形是*行四边形. 【解答】解:(1)如图, 连接 AD 交 BC 于 O, 由折叠知,AB=BD,∠ACB=∠DBC, ∵BO=BO, ∴△ABO≌△DBO(SAS), ∴∠AOB=∠DOB, ∵∠AOB+∠DOB=180°, ∴∠AOB=∠DOB=90°,
17

∴BC⊥AD, 故答案为:BC⊥AD; (2)添加的条件是 AB=AC, 理由:由折叠知,∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ACB=∠DBC=∠ABC=∠DCB, ∴AC∥BD,AB∥CD, ∴四边形 ABDC 是*行四边形.
【点评】此题主要考查了折叠的性质,*行四边形的判定,等腰三角形的性质, 全等三角形的判定和性质,判断出△ABO≌△DBO(SAS)是解本题的关键. 22.(8.00 分)为了解某市初中学生课外阅读情况,调查小组对该市这学期初中 学生阅读课外书籍的册数进行了抽样调查,并根据调查结果绘制成如下统计图.
根据统计图提供的信息,解答下列问题: (1)本次抽样调查的样本容量是 100 ; (2)补全条形统计图; (3)该市共有 12000 名初中生,估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的
18

人数. 【分析】(1)根据 2 册的人数除以占的百分比即可得到总人数; (2)求出 1 册的人数是 100×30%=30 人,4 册的人数是 100﹣30﹣40﹣20=10 人,再画出即可; (3)先列出算式,再求出即可. 【解答】解:(1)40÷40%=100(册), 即本次抽样调查的样本容量是 100, 故答案为:100;

(2)如图:



(3)12000×(1﹣30%)=8400(人), 答:估计该市初中学生这学期课外阅读超过 2 册的人数是 8400 人. 【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图,总体、个体、样本、样本容量, 用样本估计总体等知识点,两图结合是解题的关键.

23.(8.00 分)将图中的 A 型、B 型、C 型矩形纸片分别放在 3 个盒子中,盒子 的形状、大小、质地都相同,再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋子中.

(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子,求摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率; (2)搅匀后先从中摸出 1 个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒 子,求 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接). 【分析】(1)直接利用概率公式计算可得;
19

(2)画树状图得出所有等可能结果,从中找打 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一 个新矩形的结果数,利用概率公式计算可得. 【解答】解:(1)搅匀后从中摸出 1 个盒子有 3 种等可能结果, 所以摸出的盒子中是 A 型矩形纸片的概率为 ;
(2)画树状图如下:
由树状图知共有 6 种等可能结果,其中 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形 的有 4 种结果, 所以 2 次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为 = . 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情 况数与总情况数之比.
24.(8.00 分)如图,已知点 A 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,过点 A 作 AC⊥x 轴,垂足是 C,AC=OC.一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A,与 y 轴的正半 轴交于点 B. (1)求点 A 的坐标; (2)若四边形 ABOC 的面积是 3,求一次函数 y=kx+b 的表达式.
【分析】(1)根据反比例函数 k 值的几何意义可求点 A 的坐标; (2)根据梯形的面积公式可求点 B 的坐标,再根据待定系数法可求一次函数
20

y=kx+b 的表达式. 【解答】解:(1)∵点 A 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,AC⊥x 轴,AC=OC,

∴AC?OC=4,

∴AC=OC=2,

∴点 A 的坐标为(2,2);

(2)∵四边形 ABOC 的面积是 3,

∴(OB+2)×2÷2=3,

解得 OB=1,

∴点 B 的坐标为(0,1),

依题意有



解得



故一次函数 y=kx+b 的表达式为 y= x+1. 【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题,关键是熟练掌握反比例函数 k 值的几何意义、梯形的面积、待定系数法求一次函数解析式.

25.(8.00 分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运 河的河宽(岸沿是*行的),如图,在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D,先用 卷尺量得 AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段 运河的河宽(即 CH 的长).

【分析】过 D 作 DE⊥AB,可得四边形 CHED 为矩形,由矩形的对边相等得到两 对对边相等,分别在直角三角形 ACH 与直角三角形 BDE 中,设 CH=DE=xm,利 用锐角三角函数定义表示出 AH 与 BE,由 AH+HE+EB=AB 列出方程,求出方程的 解即可得到结果. 【解答】解:过 D 作 DE⊥AB,可得四边形 CHED 为矩形,
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∴HE=CD=40m, 设 CH=DE=xm, 在 Rt△BDE 中,∠DBA=60°, ∴BE= xm,

在 Rt△ACH 中,∠BAC=30°, ∴AH= xm, 由 AH+HE+EB=AB=160m,得到 x+40+

x=160,

解得:x=30 ,即 CH=30 m, 则该段运河的河宽为 30 m.

【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题 的关键.

26.(10.00 分)阅读材料:各类方程的解法

求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为 x=a 的形式.求解二元

一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把

它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程

来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,

所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基

本数学思想转化,把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程 x3+x2

﹣2x=0,可以通过因式分解把它转化为 x(x2+x﹣2)=0,解方程 x=0 和 x2+x﹣2=0,

可得方程 x3+x2﹣2x=0 的解.

(1)问题:方程 x3+x2﹣2x=0 的解是 x1=0,x2= ﹣2 ,x3= 1 ;

(2)拓展:用“转化”思想求方程

=x 的解;

(3)应用:如图,已知矩形草坪 ABCD 的长 AD=8m,宽 AB=3m,小华把一根长

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为 10m 的绳子的一端固定在点 B,沿草坪边沿 BA,AD 走到点 P 处,把长绳 PB 段拉直并固定在点 P,然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处,把长绳剩下的一段 拉直,长绳的另一端恰好落在点 C.求 AP 的长.

【分析】(1)因式分解多项式,然后得结论;

(2)两边*方,把无理方程转化为整式方程,求解,注意验根;

(3)设 AP 的长为 xm,根据勾股定理和 BP+CP=10,可列出方程,由于方程含有

根号,两边*方,把无理方程转化为整式方程,求解,

【解答】解:(1)x3+x2﹣2x=0,

x(x2+x﹣2)=0,

x(x+2)(x﹣1)=0

所以 x=0 或 x+2=0 或 x﹣1=0

∴x1=0,x2=﹣2,x3=1;

故答案为:﹣2,1;

(2)

=x,

方程的两边*方,得 2x+3=x2

即 x2﹣2x﹣3=0

(x﹣3)(x+1)=0

∴x﹣3=0 或 x+1=0

∴x1=3,x2=﹣1,

当 x=﹣1 时,

= =1≠﹣1,

所以﹣1 不是原方程的解.

所以方程

=x 的解是 x=3;

(3)因为四边形 ABCD 是矩形,

所以∠A=∠D=90°,AB=CD=3m

设 AP=xm,则 PD=(8﹣x)m

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因为 BP+CP=10,

BP=

,CP=



+

=10



=10﹣

两边*方,得(8﹣x)2+9=100﹣20

+9+x2

整理,得 5

=4x+9

两边*方并整理,得 x2﹣8x+16=0 即(x﹣4)2=0 所以 x=4. 经检验,x=4 是方程的解. 答:AP 的长为 4m. 【点评】本题考查了转化的思想方法,一元二次方程的解法.解无理方程是注意 到验根.解决(3)时,根据勾股定理和绳长,列出方程是关键.

27.(10.00 分)(1)如图 1,已知 EK 垂直*分 BC,垂足为 D,AB 与 EK 相交于 点 F,连接 CF.求证:∠AFE=∠CFD. (2)如图 2,在 Rt△GMN 中,∠M=90°,P 为 MN 的中点. ①用直尺和圆规在 GN 边上求作点 Q,使得∠GQM=∠PQN(保留作图痕迹,不 要求写作法); ②在①的条件下,如果∠G=60°,那么 Q 是 GN 的中点吗?为什么?

【分析】(1)只要证明 FC=FB 即可解决问题; (2)①作点 P 关于 GN 的对称点 P′,连接 P′M 交 GN 于 Q,连接 PQ,点 Q 即为 所求.
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②结论:Q 是 GN 的中点.想办法证明∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°,可得 QM=QN,QM=QG; 【解答】(1)证明:如图 1 中,
∵EK 垂直*分线段 BC, ∴FC=FB, ∴∠CFD=∠BFD, ∵∠BFD=∠AFE, ∴∠AFE=∠CFD.
(2)①作点 P 关于 GN 的对称点 P′,连接 P′M 交 GN 于 Q,连接 PQ,点 Q 即为 所求.
②结论:Q 是 GN 的中点. 理由:设 PP′交 GN 于 K. ∵∠G=60°,∠GMN=90°, ∴∠N=30°, ∵PK⊥KN, ∴PK=KP′= PN, ∴PP′=PN=PM, ∴∠P′=∠PMP′,
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∵∠NPK=∠P′+∠PMP′=60°, ∴∠PMP′=30°, ∴∠N=∠QMN=30°,∠G=∠GMQ=60°, ∴QM=QN,QM=QG, ∴QG=QN, ∴Q 是 GN 的中点. 【点评】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直*分线的性质、直角三角形斜边 中线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题 型.
28.(10.00 分)如图,二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,点 A 的坐标为(﹣4,0),P 是抛物线上一点(点 P 与点 A、B、C 不重合). (1)b= ﹣ ,点 B 的坐标是 ( ,0) ; (2)设直线 PB 与直线 AC 相交于点 M,是否存在这样的点 P,使得 PM:MB=1: 2?若存在求出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由; (3)连接 AC、BC,判断∠CAB 和∠CBA 的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)由点 A 的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出 b 的值, 代入 y=0 求出 x 值,进而可得出点 B 的坐标; (2)代入 x=0 求出 y 值,进而可得出点 C 的坐标,由点 A、C 的坐标利用待定系 数法可求出直线 AC 的解析式,假设存在,设点 M 的坐标为(m, m+2),分 B、 P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况考虑,由点 B、M 的坐标结合 PM:MB=1:2 即可得出点 P 的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于 m 的一
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元二次方程,解之即可得出结论; (3)作∠CBA 的角*分线,交 y 轴于点 E,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,设 OE=n, 则 CE=2﹣n,EF=n,利用面积法可求出 n 值,进而可得出 = = ,结合∠ AOC=90°=∠BOE 可证出△AOC∽△BOE,根据相似三角形的性质可得出∠CAO=∠ EBO,再根据角*分线的性质可得出∠CBA=2∠EBO=2∠CAB,此题得解. 【解答】解:(1)∵点 A(﹣4,0)在二次函数 y=﹣ +bx+2 的图象上, ∴﹣ ﹣4b+2=0, ∴b=﹣ . 当 y=0 时,有﹣ x2﹣ x+2=0, 解得:x1=﹣4,x2= , ∴点 B 的坐标为( ,0). 故答案为:﹣ ;( ,0). (2)当 x=0 时,y=﹣ x2﹣ x+2=2, ∴点 C 的坐标为(0,2). 设直线 AC 的解析式为 y=kx+c(k≠0), 将 A(﹣4,0)、C(0,2)代入 y=kx+c 中,

得:

,解得:



∴直线 AC 的解析式为 y= x+2. 假设存在,设点 M 的坐标为(m, m+2). ①当点 P、B 在直线 AC 的异侧时,点 P 的坐标为( m﹣ , m+3), ∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上, ∴ m+3=﹣ ×( m﹣ )2﹣ ×( m﹣ )+2, 整理,得:12m2+20m+9=0. ∵△=202﹣4×12×9=﹣32<0,
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∴方程无解,即不存在符合题意得点 P; ②当点 P、B 在直线 AC 的同侧时,点 P 的坐标为( m+ , m+1),

∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2﹣ x+2 上,

∴ m+1=﹣ ×( m+ )2﹣ ×( m+ )+2,

整理,得:4m2+44m﹣9=0,

解得:m1=﹣

,m2=



∴点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ .

综上所述:存在点 P,使得 PM:MB=1:2,点 P 的横坐标为﹣2﹣ 或﹣2+ . (3)∠CBA=2∠CAB,理由如下: 作∠CBA 的角*分线,交 y 轴于点 E,过点 E 作 EF⊥BC 于点 F,如图 2 所示. ∵点 B( ,0),点 C(0,2),

∴OB= ,OC=2,BC= .

设 OE=n,则 CE=2﹣n,EF=n, 由面积法,可知: OB?CE= BC?EF,即 (2﹣n)= n,

解得:n= .

∵ = = ,∠AOC=90°=∠BOE,

∴△AOC∽△BOE, ∴∠CAO=∠EBO, ∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB.

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【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、 三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定 与性质,解题的关键是:(1)由点 A 的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征 求出 b 的值;(2)分 B、P 在直线 AC 的同侧和异侧两种情况找出点 P 的坐标;(3) 构造相似三角形找出两角的数量关系.
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