2020-2021中考数学 二次函数 培优练*(含答案)附详细答案

发布于:2021-09-25 17:05:49

2020-2021 中考数学 二次函数 培优练*(含答案)附详细答案 一、二次函数 1.(10 分)(2015?佛山)如图,一小球从斜坡 O 点处抛出,球的抛出路线可以用二次函 数 y=﹣x2+4x 刻画,斜坡可以用一次函数 y= x 刻画. (1)请用配方法求二次函数图象的最高点 P 的坐标; (2)小球的落点是 A,求点 A 的坐标; (3)连接抛物线的最高点 P 与点 O、A 得△ POA,求△ POA 的面积; (4)在 OA 上方的抛物线上存在一点 M(M 与 P 不重合),△ MOA 的面积等于△ POA 的 面积.请直接写出点 M 的坐标. 【答案】(1)(2,4);(2)( , );(3) ;(4)( , ). 【解析】 试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点 P 的坐标; (2)联立两解析式,可求出交点 A 的坐标; (3)作 PQ⊥x 轴于点 Q,AB⊥x 轴于点 B.根据 S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA,代入数值 计算即可求解; (4)过 P 作 OA 的*行线,交抛物线于点 M,连结 OM、AM,由于两*行线之间的距离 相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△ MOA 的面积等于△ POA 的面积.设直 线 PM 的解析式为 y= x+b,将 P(2,4)代入,求出直线 PM 的解析式为 y= x+3.再与抛 物线的解析式联立,得到方程组 ,解方程组即可求出点 M 的坐标. 试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4, 故二次函数图象的最高点 P 的坐标为(2,4); (2)联立两解析式可得: ,解得: ,或 . 故可得点 A 的坐标为( , ); (3)如图,作 PQ⊥x 轴于点 Q,AB⊥x 轴于点 B. S△ POA=S△ POQ+S△ 梯形 PQBA﹣S△ BOA = ×2×4+ ×( +4)×( ﹣2)﹣ × × =4+ ﹣ =; (4)过 P 作 OA 的*行线,交抛物线于点 M,连结 OM、AM,则△ MOA 的面积等于 △ POA 的面积. 设直线 PM 的解析式为 y= x+b, ∵ P 的坐标为(2,4), ∴ 4= ×2+b,解得 b=3, ∴ 直线 PM 的解析式为 y= x+3. 由 ,解得 , , ∴ 点 M 的坐标为( , ). 考点:二次函数的综合题 2.已知二次函数的图象以 A(﹣1,4)为顶点,且过点 B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右*移,当图象经过原点时,A、B 两点随图象移至 A′、B′,求△ O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与 x 轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3) 15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将 B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令 x=0,可求得抛物线与 y 轴的交点坐标;令 y=0,可求得抛物线 与 x 轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与 x 轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与 x 轴负 半轴的交点*移到原点时,抛物线*移的单位,由此可求出 A′、B′的坐标.由于△ OA′B′不 规则,可用面积割补法求出△ OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式 y=a(x+1)2+4, 将 B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴ 该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令 x=0,得 y=3,因此抛物线与 y 轴的交点为:(0,3), 令 y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与 x 轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与 x 轴的交点为 M、N(M 在 N 的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右*移经过原点时,M 与 O 重合,因此抛物线向右*移了 3 个单位, 故 A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴ S△ OA′B′= 1 ×(2+5)×9﹣ 1 ×2×4﹣ 1 ×5×5=15. 2 2 2 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 求法等知识.熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的 面积的求解方法等是解题的关键. 3.如图 1,对称轴为直线 x=1 的抛物线 y= 1 x2+bx+c,与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 2 的左侧),且点 A 坐标为(-1,0).又 P 是抛物线上位于第一象限的点,直线 AP 与 y 轴交于 点 D,与抛物线对称轴交于点 E,点 C 与坐标原点 O 关于该对称轴成轴对称. (1)求点 B 的坐标和抛物线的表达式; (2)当 AE:EP=1:4 时,求点 E 的坐标; (3)如图 2,在(2)的条件下,将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′,旋转角为 α(0°< α<90°),连接 C ′D、C′B,求 C ′B+ 2 C′D 的最小值. 3 【答案】(1)B(3,0);抛物线的表达式为:y= 1 x2-x- 3 ;(2)E(1,6);(3)C′B+ 22 2 C′D 的最小值为 4 10 . 3 3 【解析】 试题分析:(1)由抛物线的对称轴和过点 A ,即可得到抛物线的解析式,令 y=0,解方程 可得 B 的坐标; (2)过点 P 作 PF⊥x 轴,垂足为 F.由*行线分线段弄成比例定理可得 AE = AG = EG = 1 ,从而求出 E 的坐标; AP AF PF 5 (3)由 E(1,6)、A(-1,0)可得 AP 的函数表达式为 y=3x+3,得到 D(0

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